Будущий артист появился на свет в Москве в семье инженера и сотрудницы ЖЭКа. Его папа болел за бразильские футбольные команды и даже хотел назвать сына Роке Жуниор, однако мама настояла на имени Гела. С возрастом ребенок перенял увлечение отца и в школьные годы часто гонял с друзьями мяч, мечтая однажды выступить за сборную.

Мальчик рос хулиганом, учился неважно и постоянно попадал в передряги. За ум Месхи взялся к девятому классу, когда приблизилось время выбора призвания. Он не был силен ни в точных, ни в гуманитарных науках, так что поначалу растерялся, не зная, в какой вуз пойти. Преподаватель литературы посоветовала Геле попробовать себя в экспериментальном театре-студии Вячеслава Спесивцева: юноша казался достаточно артистичным и самоуверенным для творческой профессии.

Вскоре Месхи уже не представлял жизни без сцены и твердо решил поступать в театральный институт. Абитуриент попал в ГИТИС, через год ушел оттуда во ВГИК на курс Владимира Грамматикова, но и там не прижился: перевелся в Школу-студию МХАТ к Константину Райкину. В лице Райкина актер обрел идеального руководителя — требовательного и жесткого — и, наконец, перестал менять вузы. Во время учебы Гела участвовал в спектаклях МХТ, а окончив учебу, сразу же получил роль мечты — в фильме Юрия Кары «Гамлет. XXI век».